行程问题及答案
一、计算题。 ( 共45题 )
  1. 分析与解:设原规定时间为x 分钟。可列出以下两种走法:速度 时间 路程(1)每分钟走0.25 千米 (x-24)分钟 0.25(x-24)千米(2)每分钟走0.2 千米 (x+15)分钟 0.2(x+15)千米由于两种走法的路程相同,可列方程:0.25(x-24)=0.2(x+15)

        解得x=180 0.2(x+15)=0.2×(180+15)=39因此,原规定时间为180 分钟,即3 小时,到某地路程为39 千米。
  2. 分析与解 根据题意,小明在跑1、3、5、……分钟时,每次按逆时针方向,比前一次增加 120 米。他停止练习时,那次是按逆时针方向跑,并离开起点的距离应是120 和400 的最小公倍数1200 米。于是得出他沿逆时针方向跑了1200÷120=10(次)。他停止练习前那次跑了10×2-1=19(分钟),他一共跑了 1+2+3+……+19=190(分钟),即3 小时10 分,由此可求出停止练习时的时刻(11 时30 分)和停止练习时他一共跑了的路程。

        [120,400]=1200 1200÷120=10(次)

        1+2+3+……+19=190(分钟)

        120×190=22800(米)

        即小明停止练习时是11 时30 分,他一共跑了22800 米。
  3. 分析与解:这个问题看起来很复杂,其实却是出人意料的简便。因为每小时甲走3 千米,乙走2 千米,所以甲乙二人相遇共走了10 小时,这表明狗也跑了10 小时,因此狗一共跑了50 千米。
  4. 解答:设甲每次从队尾追到队头行x千米,从队头到队尾行y千米,
    5x-4y=22.4-5.6 2x-2y=5.6 解得x= 5.6 y=2.8
    相遇时,甲实际行5.6×5+2.8×4=39.2(千米),乙行5.6千米,39.2÷5.6=7
    甲到B,实际行5.6×7+2.8×6=56(千米),乙行5.6÷7=8(千米)
    乙距A:22.4-8=14.4(千米)
  5. 解答:我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图(下图),由于B点在里面,不便于作图,设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴,作出点B的对称点F,用F代替B,即可找出最短路线了.

    将圆柱面展成平面图形(上图),延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于O.

    因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴,所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直线段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到O点后,转向桶内B点爬去.
    延长AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形,AF是斜边,EF=CD,根据勾股定理, AF2=(AC+CE)2+EF2
    =(12+8)2+152=625=252,解得AF=25.
    即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.
  6. 解答:根据“马跑4步的距离狗跑7步”,可以设马每步长为7x米,则狗每步长为4x米。根据“狗跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米=21x米,则狗跑5*4x=20米。可以得出马与狗的速度比是21x:20x=21:20根据“现在狗已跑出30米”,可以知道狗与马相差的路程是30米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是多少路程,就是 30÷(21-20)×21=630米
      
  7.  解答:由题意知,甲乙速度和是(135÷3)千米,这个速度和是乙的速度的(2+1)倍。

     解:135÷3÷(2+1)=15(千米)

     15×2=30(千米)

     答:甲乙每小时分别行30千米、15千米。

  8. 解答:在每分走50米的到校时间内按两种速度走,相差的路程是(60×2)米,又知每秒相差(60-50)米,这就可求出小明按每分50米的到校时间。

    解:60×2÷(60-50)=12(分)

    50×12=600(米)

    答:小明从家里到学校是600米。

  9. 解答:甲乙2天完成总工程的2(1/8+1/10)=9/20 丙丁2天完成全程的1-9/20=11/20 所以这条路全长为150÷(11/20-9/20)=1500米答:这条路全长1500米。
  10. 解: 逆水行的18÷2=9千米,顺水要行12×2-9=15千米。 所以顺水速度是12÷(15-9)×15=30千米/小时。
    逆水速度是30-12=18千米/小时。所以两个码头相距18×2+9=45千米
    解:后2小时比前2小时多行18千米,意味着前2小时只行到了离乙码头18/2=9千米的地方。 顺水比逆水每小时多行12千米,那么2小时就应该多行 12*2=24千米,实际上少了24-18=6千米,从而,顺水只行了:2-6/12=1.5小时。 逆水行9千米用了2-1.5=0.5小时, 逆水速度是:9/0.5=18千米 顺水速度是:18+12=30千米 甲乙两码头的距离是:30*1.5=45千米。
    18÷12=1.5(时)就是回来时顺水所用的时间
  11. 解:车速提高1/9,所用的时间就是预定时间的1÷(1+1/9)=9/10, 所以预定时间是20÷(1-9/10)=200分钟。
    速度提高1/3,如果行完全程,所用时间就是预定时间的1÷(1+1/3)=3/4, 即提前200×(1-3/4)=50分钟。
    但却提前了30分钟,说明有30÷50=3/5的路程提高了速度。
    所以,全程是72÷(1-3/5)=180千米。
    这题我有一巧妙的,小学生容易懂的算术方法。
    如将车速比原来提高9分之1,速度比变为10:9,所以时间比为9:10,原来要用时20*(10-9)=200分。
    如一开始就提高3分之1,就会用时:3*200/4=150分,这样提前50分,而实际提前30分,
    所以72千米占全程的1-30/50=20/50,
    所以全程72/(20/50)=180千米。
  12. 解:"恰好在中间",我的理解是在蓝甲虫和黄甲虫的中点上。
    假设一只甲虫A行在红甲虫的前面,并且让红甲虫一直保持在蓝甲虫和A甲虫的中点上。那么A甲虫的速度每分钟行13×2-11=15厘米。当A甲虫和黄甲虫相遇时,就满足条件了。
    所以A甲虫出发时,与黄甲虫相距12×100-15×(30-20)=1050厘米。
    需要1050÷(15+15)=35分钟相遇。
    即红甲虫在9:05时恰好居于蓝甲虫和黄甲虫的中点上。
  13. 解答:甲车和乙车的速度比是15:10=3:2
    相遇时甲车和乙车的路程比也是3:2
    所以,两城相距12÷(3-2)×(3+2)=60千米
  14. 解答:第三段用时40÷80=0.5小时

     设第一段长为x,第二段长为242-40-x=202-x

     总耗时为3-0.5=2.5小时

     x÷84+(202-x)÷76=2.5  x=126千米

  15. 解:最后是已经修的和未修的1:1,那么未修的占全部的1/2,也就是第二天修完后剩下的1-1/3=2/3,所以第一天修完后剩下(1/2)/(2/3)=3/4,那么全长=60/(1-3/4)=240米
    已修的等于未修的,说明已修的占1/2,所以,设全长=X,60+(X-60)*1/3=X/2,得X=240,即全长=240米
  16. 解:相遇后的速度比是5×(1-20%):4×(1+20%)=5:6。
     
    相遇时甲行了5份,乙行了4份,
     
    相遇后,当甲行完余下的4份时,乙行了4×6/5=4.8份。
     
    所以每份是10÷(5-4.8)=50千米。
     
    所以AB两地相距50×(5+4)=450千米。
  17. 解答:去时距离甲地是90的倍数,即90,180,270千米……处,返回时距离乙地是100的倍数,即距离甲地是950-100的倍数,两者的交集是距离甲地450千米处。把它看作一个相遇问题。
     
    950÷(100+90)=5
     
    5×90=450千米。
  18. 解答:妹妹平均每小时行2÷(1/3+1/6)=4千米,
     
    姐姐平均每小时行(3+6)÷2=4.5千米,
     
    姐姐速度快,应先到。
  19. 解答:相遇是已行了全程的七分之四表现甲乙的速度比是4:3;时间比为3:4;以是快车行全程的时间为8/4*3=6小时;6*33=198千米
  20. 解答:由题意知,狗跑的时间正好是二人的相遇时间,又知狗的速度,这样就可求出狗跑了多少千米。18÷(5+4)=2(小时),8×2=16(千米)
    答:狗跑了16千米。
  21. 解答:甲
  22. 解:从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,

    这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时)

    所以两站间的距离为 (48+40)×4=352(千米)

    列成综合算式 (48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米)

    答:甲乙两站的距离是352千米。
  23. 答案与解析:画图可知某一个人到C点时间内,第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差90×10/60=15千米,第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差60×1.5=90千米。而速度比为3:2;这样我们可以知道甲走的路程就是:(90-15)÷(3-2)×3=215,所以全程就是215+15=230千米。
  24. 答案与解析:“第一次相遇点距B处60 米”意味着乙走了60米和甲相遇,根据总结,两次相遇两人总共走了3个全程,一个全程里乙走了60,则三个全程里乙走了3×60=180米,第二次相遇是距A地10米。画图我们可以发现乙走的路程是一个全程多了10米,所以A、B相距=180-10=170米。
  25. 答案与解析:甲、乙相遇后4分钟乙、丙相遇,说明甲、乙相遇时乙、丙还差4分钟的路程,即还差4×(75+60)=540米;而这540米也是甲、乙相遇时间里甲、丙的路程差,所以甲、乙相遇=540÷(90-60)=18分钟,所以长街长=18×(90+75)=2970米。
  26. 答案与解析:客车速度:货车速度=4:3,那么同样时间里路程比=4:3,也就是说客车比货车多行了1份,多30千米;所以客车走了30×4=120千米,所以两城相距120×2=240千米。
  27. 答案与解析:小强比平时多用了16分钟,步行速度:骑车速度=1/3:1=1:3,那么在2千米中,时间比=3:1,所以步行多用了2份时间,所以1份就是16÷2=8分钟,那么原来走2千米骑车8分钟,所以20分钟的骑车路程就是家到学校的路程=2×20÷8=5千米。
  28. 答案与解析:根据题意可知,甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇.

      易知小跑道上AB左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米.

      我们将甲、乙的行程状况分析清楚.

      当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处.

      而当乙第一次到达B点时,所需时间为200\4=50秒,此时甲跑了6*50=300米,在离B点300-200=100米处.

      乙跑出小跑道到达A点需要100\4=25秒,则甲又跑了6*25=150米,在A点左边(100+150)-200=50米处.

      所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇.

      从乙再次到达A处开始计算,还需(400-50)\(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒.

      所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6*110=660米.

  29.   答案与解析:巨人的脚底走过的圆,半径是6371千米。    

      巨人的身高是3米,所以他的头顶走过的圆,半径增加3米。都用千米做长度单位,半径增加的数量就是0.003千米。    

      取圆周率的近似值为3.14,那么    

      两圆周长的差=3.14×2×(6371+0.003)-3.14×2×6371    

      =3.14×2×0.003    

      =0.01884(千米)    

      =18.84(米)。    

      结论是:环绕地球一周,巨人的头顶只比脚底多走18.84米。

  30.   答案与解析:    

      原定时间是1÷10%×(1-10%)=9小时    

      如果速度提高20%行完全程,时间就会提前9-9÷(1+20%)=3/2    

      因为只比原定时间早1小时,所以,提高速度的路程是1÷3/2=2/3    

      所以甲乙两第之间的距离是180÷(1-2/3)=540千米    

      另一种解法    

      原速度:减速度=10:9,    

      所以减时间:原时间=10:9,    

      所以减时间为:1/(1-9/10)=10小时;原时间为9小时;    

      原速度:加速度=5:6,原时间:加时间=6:5,    

      行驶完180千米后,原时间=1/(1/6)=6小时,    

      所以形式180千米的时间为9-6=3小时,原速度为180/3=60千米/时,    

      所以两地之间的距离为60*9=540千米 

  31.   答案与解析:60米 对于追及问题,我们知道:10米=速度差×追及时间    

      狗追上兔时,所跑路程应为:总路程=狗的速度×追及时间    

      这就是要弄清狗的速度与兔的速度差之间的倍数关系。    

      另一方面,在分析速度时,一定是相同时间内狗与兔的速度之间的倍数,而不是相同的步数或相同的路程。只要分析清楚这些,就可以解出本题了。    

      详解1:为了看相同时间的路程关系,也就是速度关系,我们进行如下处理:    

      狗跑2步的时间兔跑3步,则狗跑6步的时间兔子跑了9步,也就是兔子跑了狗的5步,那么在这段时间内,狗追上了兔子,狗的一步或狗兔间的距离缩短了狗的1步,而狗跑了6步,所以狗的速度是速度差的6倍。由前面的分析可知,总路程也是10米的6倍,也就是说,狗追上兔子时,一共跑了10×6=60米    

      详解2:不妨认为兔子的9步=狗的5步=4.5米,则兔子一步0.5米,狗的一步0.9米。狗跑2步的时间=兔子跑3步的时间=1秒,则1秒内狗跑了0.9×2=1.8米,兔子跑了1.5米。    

      则狗跑的距离=狗的速度×追及时间=狗的速度×[ 相差距离÷速度差 ]=1.8×10÷(1.8-1.5)=60米。 

  32.   讲解:根据问题的条件,从家走到学校,两种速度所用时间的差是

      6+3=9(分)。

      如果有两个人同时从小玲家往学校走,其中一个人以每分钟80米的速度快走,另一个人以每分钟50米的速度慢走,那么当快走的人到达学校时,慢走的人还差9分钟的路程,即

      50×9=450(米)。

      从两人同时同地出发,到距离拉开成450米,所用的时间是

      450÷(80-50)=15(分)。

      这15分钟是从家快步走到学校所用的时间,所以家到学校的距离是

      80×15=1200(米)。

  33.   答案与解析:在这个问题里,问的是狗共计跑了多少路,并不考虑来回奔跑每个单程是多少。而狗是一直不停地奔跑的,只要知道它奔跑的时间,就能算出走多少路。

      狗跑的时间,就是两人从出发到相遇所用的时间,即

      45÷(5+10)=3(时)。

      在这3小时内,狗跑的路程长度是

      15×3=45(千米)。

      这样就很快算出,狗跑的路程是45千米。

      还有一种更简单的算法。

      由于

      15=10+5,

      所以,狗奔跑的速度,恰好等于甲、乙两人速度的和。由此知道,在相同时间内,狗走过的路程,等于两人所走路程的和。从出发到相遇,两人共同走完了全程45千米。所以在这段时间里,狗跑的路程也是45千米。

  34. 分析:如果乙不休息,则甲下山再上山的时间与乙上山再下山的时间相等,因此,甲回到山顶30分后乙到达山脚.当再次相遇时,甲还有480÷20=24(分)到达山顶.于是乙还需要走30×(24+30)=1620(米),山道长:1620+480=2100(米).
    解答:解:(480÷20+30)×30+480,
    =1620+480,
    =2100(米).
    故答案为2100米.
    点评:此题采用假设法来解决相遇问题,做起来比较简单.

  35. 答案:

    第二次的时候,因为李爷爷玩了半个小时出发

    所以到达的时间也提前了半个小时,他和王老板仍然同时到达,说明王老板第二次也是提前
    了半个小时到达,设他原来要花x个小时
    那么就有:60x=90(x-0.5)
    解得:x=1.5
    所以菜园到市场的距离=200×60×1.5=18000米=18千米
    市区到市场的距离=60×1.5=90千米
    所以菜园到市区的距离=18+90=108千米
  36. 答案与解析:

      最远可以深入沙漠360千米

      【小结】设A走X天后返回,A留下自己返回时所需的食物,剩下的转给B,此时B共有(48-3X)天的食物,因为B最多携带24天的食物,所以X=8,剩下的24天食物,B只能再向前走8天,留下16天的食物供返回时用,所以B可以向沙漠深处走16天,因为每天走20千米,所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

      如果改变条件,则问题关键为A返回时留给B24天的食物,由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程,而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路,这段路为24÷4=6天的路程,所以B可以深入沙漠18天的路程,也就是说,其中一个人最远可以深入沙漠360千米。
  37. 答案与解析

  38. 答案与解析:

  39. 答案与解析:甲与乙、丙的距离相等有两种情况:一种是乙追上丙时;另一种是甲位于乙、丙之间.

      ⑴乙追上丙需:280(80-72)=35(分钟).

      ⑵甲位于乙、丙之间且与乙、丙等距离,我们可以假设有一个丁,他的速度为乙、丙的速度的平均值,即(80+72)2=76(米/分),且开始时丁在乙、丙之间的中点的位置,这样开始时丁与乙、丙的距离相等,而且无论经过多长时间,乙比丁多走的路程与丁比丙多走的路程相等,所以丁与乙、丙的距离也还相等,也就是说丁始终在乙、丙的中点.所以当甲遇上丁时甲与乙、丙的距离相等,而甲与丁相遇时间为:(280+2802)(90-76)=30(分钟).

      经比较,甲第一次与乙、丙的距离相等需经过30分钟.

  40. 答案与解析:由题干可知,丙先与乙相遇,再过10分钟与甲相遇,所以丙与乙相遇时,丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和:(20+25)*10=450(米),而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里,甲、乙所行的路程之差.所以从出发到乙、丙相遇所用的时间为:450(22.5-20)=180(分).所以,东、西两镇的距离为:(25+22.5)*180=8550(米).

  41. 答案与解析:

      如果设单程的距离为280千米,那么总时间为280\40+280\70=11小时,所以平均速度为280*2\11=(千米/时),而实际上来回共行驶了5.5小时,所以钢厂到码头的距离为*5.5\2=140(千米).

  42. 答案与解析:
    [30÷(1.3+1.2)]×10×1.2
    =(30÷2.5)×10×1.2,
    =12×10×1.2,
    =144(米).
    30×5-144
    =150-144,
    =6(米).
    答:乙还要走6米才能回到出发点.
  43. 甲车每小时比乙车每小时多行:56-48=8千米
    两车在距中点32千米处相遇(即甲车比乙车共多行了):32×2=64千米
    相遇时两车行的时间:64÷8=8小时
    根据速度和×相遇时间=路程,列式得:
    (56+48)×8=104×8=832千米
  44. 8KM,接小明的地方到学校要(60-40)/2=10分钟.所以前面6km需要40-10=30分钟,所以距离=6*40/30=8
  45. 2分5秒等于125秒,速度是8m/s,假设列车只是一个点,也就是说列车的长度不算,那么桥的长度是s=vt=8*125=1000.但火车是有长度的,长度是200米,列车从车头到达桥的时候开始算起,直到车尾出了桥才结束,所以把总的长度减去列车的长度,也是800米.
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