（本题满分12分，第（1）题7分，第（2）题5分）如图，在⊙o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，连接ac，将△ace沿ac翻折得到△acf，直线fc与直线ab相交于点g．（1）证明：直线fc与⊙o相切；（2）若，求证：四边形ocbd是菱形．-奥数库

题目与解析

问题

（本题满分12分，第（1）题7分，第（2）题5分）
如图，在⊙o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，连接ac，将△ace沿ac翻折得到△acf，直线fc与直线ab相交于点g．
（1）证明：直线fc与⊙o相切；
（2）若，求证：四边形ocbd是菱形．

答案与解析

解：（1）连接．    ………………………………………1分

∵，   ∴         …………………………………………1分
由翻折得，，．…1分
∴． …………………………………1分
∴oc∥af．……………………………………1分
∴．…………………………1分
∵点c在圆上
∴直线fc与⊙o相切．………………………1分
（2）解一：在rt△ocg中，∵，∴，   …………1分
∵直径ab垂直弦cd， ∴             ………………………1分
∴                                      ………………………1分
∵
∴．                        ………………………1分
∴四边形ocbd是菱形．                          ………………………1分
解二：在rt△ocg中，∵，∴，………………1分
∵，∴                         ………………………1分
∵ab垂直于弦cd， ∴                  ………………………1分
∵直径ab垂直弦cd， ∴              ………………………1分
∴四边形ocbd是平行四边形
∵ab垂直于弦cd，∴四边形ocbd是菱形．…………………………………1分