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题目与解析

问题

1×3×5×…×2011的末三位数是多少?

答案与解析

首先,由于要求末三位数字,可以仅考虑末三位数字,也就是考虑这个数除以1000的余数。

由于1000=8×125,而题中这个数肯定是125的倍数,那么如果能知道这个数除以8的余数,也就可以知道它除以1000的余数了。由于这个数是奇数数列1,3,5,7,9,11,…,2011的乘积,而9与1、11与3……除以8的余数相同,所以如果将这个数列每4个分为一组:(1,3,5,7),(9,11,13,15),……那么每组中的4个数的乘积除以8的余数是相同。由于1~2011共有1006个奇数,所以可以分成1006&pide;4=251组…2个。剩下2009和2011。

第一组中4个数的乘积为1×3×5×7=105,除以8的余数为1,所以每组中4个数的乘积除以8的乘积也都是1,这样251组数的总乘积除以8的余数也是1。2009×2011除以8的余数1×3=3,那么说明这个数除以8的余数是3。

由于该数是125的奇数倍,那么末三位是125的奇数倍,可能为125,375,625,875,它们除以8的余数分别为5、7、1、3,只有875除以8的余数为3,所以原题中乘积的末三位数字为875。

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