第一单元位置乘法分配律：（a+b）×c=ac+bc1、用数对确定点的位置，如（3，5）表示：（第三列，第五行）二、分数乘法的解决问题几列几行（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）↓↓1、画线段图：竖排叫列横排叫行（1）两个量的关系：画两条线段图；（2）部分和整体的关系：画一条线段图。（从左往右看）（从前往后看）2、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。几3、求一个数的几倍：一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数×。3、图形左、右平移：行不变图形上、下平移：列不变几第二单元分数乘法4、写数量关系式技巧：（1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”一、分数乘法（2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（一）分数乘法的意义：（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1分率）=分率对应量1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。三、倒数881、倒数的意义：乘积是1的两个数互为．．倒数。例如：×5表示求5个的和是多少？99强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。（要说清谁是谁的倒数）。8383例如：×表示求的是多少？2、求倒数的方法：9494（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（二）、分数乘法的计算法则：（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。13、1的倒数是1；0没有倒数。因为1×1=1；0乘任何数都得0，（分母不能为0）（三）、规律：（乘法中比较大小时）0一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。11ba4、对于任意数aa(0)，它的倒数为；非零整数a的倒数为；分数的倒数是；一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。aaab一个数（0除外）乘1，积等于这个数。5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。第三单元分数除法（五）、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。一、分数除法乘法交换律：a×b=b×a1、分数除法的意义：乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法：因数×因数=积除法：积÷一个因数=另一个因数精品学习资料可选择pdf第1页，共6页-----------------------\n分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。4、区分比和比值2、分数除法的计算法则：比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。3、规律（分数除法比较大小时）：5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。（1）、当除数大于1，商小于被除数；6、比和除法、分数的联系：（2）、当除数小于1（不等于0），商大于被除数；比前项比号“：”后项比值（3）、当除数等于1，商等于被除数。除法被除数除号“÷”除数商4、“”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算分数分子分数线“—”分母分数值中括号里面的。二、分数除法解决问题7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。（未知单位“1”的量（用除法）：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。）8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（二）、比的基本性质（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1分率）=分率对应量1、根据比、除法、分数的关系：2、解法：（建议：最好用方程解答）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数÷另一个数2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量÷单位“1”的量或：①求多几分之几：大数÷小数–13、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。②求少几分之几：1-小数÷大数4.化简比：依三、比和比的应用①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。据（一）、比的意义比（1）②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方的1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。基法来化简。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项本③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。性所得的商，叫做比值。质：3例如15：10=15÷10=（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）2（2）用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。∶∶∶∶3如：15∶10=15÷10==3∶2前项比号后项比值25．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。如：已知两个量之比为ab:，则设这两个量分别为ax和bx。例：路程÷速度=时间。6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）精品学习资料可选择pdf第2页，共6页-----------------------\n工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。（如：工作总量相同，工作时间比是3：2，工作效率比则是2：3）4、圆的周长公式：C=πdd=C÷π第四单元圆或C=2πrr=C÷2π一、认识圆5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。6、区分周长的一半和半圆的周长：一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。（1）周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。（2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr＋2r即5.14r4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。三、圆的面积5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。17．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。3、圆面积公式的推导：2（1）、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简d用字母表示为：d＝2r或r＝单，化抽象为具体。28、轴对称图形：（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形圆的半径=长方形的宽只有4条对称轴的图形是：正方形;圆的周长的一半=长方形的长有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。二、圆的周长因为：长方形面积=长×宽1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2、圆周率实验：所以：圆的面积=圆周长的一半×圆的半径S圆=πr×r在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。22圆的面积公式：S圆=πrr=S÷π发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。4、环形的面积：3．圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．）用字母π（pai）表示。S环=πR2－πｒ2或（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。环形的面积公式：S环=π（R2－ｒ2）。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。2n（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。5、扇形的面积计算公式：S扇=πr×（n表示扇形圆心角的度数）360精品学习资料可选择pdf第3页，共6页-----------------------\n6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。（2）区别：而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。7、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例如：②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π4、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积二、百分数和分数、小数的互化相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。（一）百分数与小数的互化：10、确定起跑线：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。（1）、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）（二）百分数的和分数的互化（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2×π×跑道的宽度1、百分数化成分数：（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；先把百分数改写成分母是100的分数，能约分再约成最简分数。当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。2、分数化成百分数：11、常用各π值结果：π=3.142π=6.283π=9.425π=15.76π=18.847π①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。=21.989π=28.2610π=31.416π=50.2436π=113.0464π=200.9696π=301.44②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。4π=12.568π=25.1225π=78.5（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化12、常用平方数结果115=0.5=50%=0.2=20%=0.625=62.5%2222225811=12112=14413=16914=19615=2252222121=0.25=25%=0.4=40%=0.125=12.5%16=25617=28918=32419=361458第五单元百分数333=0.75=75%=0.6=60%=1.375=37.5%一、百分数的意义和写法4581、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。147=0.0625=6.25%=0.8=80%=0.875=87.5%1658百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。1234=0.04=4﹪=0.08=8﹪=0.12=12﹪=0.16=16﹪2、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。252525253、百分数和分数的主要联系与区别：三、用百分数解决问题（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。精品学习资料可选择pdf第4页，共6页-----------------------\n（一）一般应用题2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、1、常见的百分率的计算方法：文化和国防安全等事业。合格产品数发芽种子数3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。①合格率=100%②发芽率=100%产品总数种子总数4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。出勤人数达标学生人数5、应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率③出勤率=100%④达标率=100%总人数学生总人数（四）利息成活的数量粉的重量1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。⑤成活率=100%⑥出粉率=100%总数量出粉物的重量2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建烘干后的重量烘干前的重量烘干后的重量设，⑦烘干率=100%⑧含水率=100%烘干前的重量烘干前的重量也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、3、本金：存入银行的钱叫做本金。增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：5、利率：利息与本金的比值叫做利率。数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：6、利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间（1）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1分率）=分率对应量税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×（1-利息税率）3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。第六单元统计解法：（建议：最好用方程解答）一、扇形统计图的意义：（1）方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：二、常用统计图的优点：两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或：1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。①求多百分之几：（大数÷小数–1）×100%2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。②求少百分之几：（1-小数÷大数）×100%三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇（二）、折扣形越大。1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。）8几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪第七单元数学广角10一、“鸡兔同笼”问题的特点：2、一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三点五，也就是35%题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。（三）、纳税二、“鸡兔同笼”问题的解题方法1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。精品学习资料可选择pdf第5页，共6页-----------------------\n1、猜测法2、假设法（1）假如都是兔（2）假如都是鸡（3）古人“抬脚法”：解答思路：假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。关系式：鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数=兔的只数；鸡兔总数-兔的只数=鸡的只数。3、列方程法精品学习资料可选择pdf第6页，共6页-----------------------