“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】六年级上册概念汇总班级：姓名：第一单元长方体和正方体1．两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。2．形体相同点不同点关系面棱顶点面的形状面的大小棱长长方体6128一般都是长方形，有时也有两个相对的面是正方形。相对的面的面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体正方体6128六个面都是正方形六个面的面积相等六条棱长都相等长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。长方体的12条棱有3组，每组的四条棱长度相等。长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4长方体放桌面上，最多只能看到3个面。3．正方体的展开(不能出现田字格)1）．“141型”，中间一行4个图：作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。2）．“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。见上图3）．“222”型，两行只能有1个正方形相连。4）．“33”型，两行只能有1个正方形相连。4．长方体的表面积就是长方体六个面的总面积。由于相对的面完全相同，所以可以先求出前面、后面和下面三个面的面积，再乘以2，就可以求出表面积了。长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2正方体的六个面完全相同，所以计算时只要算出其中的一个面，再乘6就可以了。正方体的表面积=棱长×棱长×65．在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。http://www.xkb1.com通风管顾名思义是通风用的，没有底面。所以只要算四个侧面就可以了。（注意：一般是最小的口通风）（1）具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；（2）具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸等；（3）具有四个面的长方体、正方体物品：水管、烟囱等。6．体积和容积。（1）体积：物体所占空间的大小（2）容积：容器所能容纳物体的体积像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 “奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】7．体积（容积）单位。（1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。单位名称意义相当的实物1立方厘米棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米约为一个手指尖的大小1立方分米棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米约为一个粉笔盒的大小1立方米棱长是1米的正方体，体积是1立方米用3根1米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间的大小体积与容积单位之间的关系：1立方厘米=1毫升1立方分米=1升升和毫升之间的进率是1000，因为1升是1立方分米，1毫升是1立方厘米。升和毫升相比，升是高级单位，毫升是低级单位，把高级单位的数量换算成低级单位的数量，都要乘相应的进率。8．因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长×宽×高。正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长×棱长×棱长。因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长×宽；正方体的底面积=棱长×棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积×高。（1）长方体的体积=长×宽×高（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长（3）长方体的体积=底面积×高9．求这根长方体木料的体积要用“底面积×高”，从中间截成两段，表面积实质上增加了两个底面，如图。两个面的面积和是12平方分米，一个面的面积是6平方分米。本题求体积用的公式是“底面积×高”，也可以说用的是“横截面积×长”。另外对于把一个长方体截成两段，截了一次，增加了两个面，如果是截成三段，就是截了两次，增加了四个面。也就是说每截一次，增加两个面。10．综合运用体积单位、长度单位的知识。将一个大的形体分成一个小的形体。将小正方体紧紧地排成一排，能排多少米，实际上就是将这些小正方体的棱长加起来，看有多长。棱长是1米的正方体，它的体积是1立方米，棱长是1分米的正方体，它的体积是1立方分米，1立方米=1000立方分米，所以能分成1000个。顺次紧紧地排成一排，那么就能排成1000分米，1000分米=100米。11、正方体的棱长扩大n倍，表面积就扩大n²倍，体积就扩大n³倍。12、表面涂色的正方体把一个涂色正方体的每条棱n等分，切成同样大的小正方体（1）三面涂色的正方体有8个，都在大正方体顶点位置；（2）两面涂色的正方体有12（n-2），都在大正方体棱的位置，所以个数一定是12的倍数（3）一面涂色的正方体有6（n-2）2,都在大正方体面的位置，所以个数一定是6的倍数（4）没有涂色的正方体有（n-2）3，都在大正方体的内部。（5）在大正方体顶点处挖去小正方体，表面积不变（6）在大正方体棱上挖去小正方体，表面积变大，每挖去一个小正方体就比原来多2个面。（7）在大正方体面上挖去小正方体，表面积变大，每挖去一个小正方体就比原来多4个面“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 “奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】第二单元分数乘法1．分数和整数相乘，可以表示求几个几分之几相加的和。2．求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。3．分数和整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。如果整数能与分数的分母约分，要先约分，再计算。4．在解答有关分数乘法的实际问题时要找准单位“1”的量。数量关系式是：单位“1”×分率=分率对应的量5．求一个数的几分之几（几倍）是多少的分数应用题的解题思路和解答方法完全相同：用一个数乘几分之几。解题思路中是把一个数看作单位“1”，这也就提示我们解答分数应用题时先要找准单位“1”。同样，我们在画线段图时，也应该先画出单位“1”的量。在解答分数应用题的过程中，不仅仅要找准单位“1”的量，还要知道分率对应的量是什么？一般来讲，题目中分率如果是多（少）的分率，那么分率对应的量就是多的部分（少）。6．根据“实际产量比计划节约了”，写出一个数量关系式计划产量×=实际产量比计划节约的产量7．分数和分数相乘，表示求一个数的几分之几相加的和，分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。8．因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘。9．三个数相乘，先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。10．一个数和真分数相乘，所得的积小于这个数；一个数和假分数相乘，所得的积大于或等于这个数。11．解答分数乘法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。数量关系式是：单位“1”×分率=分率对应的量。12．乘积为1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。13．1的倒数是1，0没有倒数，真分数的倒数都大于1，自然数的倒数都是分子为1的真分数，假分数的倒数小于或等于1。14．典型例题例1、下面的长方形代表1公顷，请你在图中表示出公顷的，结果是多少公顷？分析与解：这个题目要分层次思考，一步一步展开。（1）公顷是1公顷的（1公顷的一半）；（2）公顷的，就是将公顷部分平均分成3份，表示出2份。第一种解法公顷第二种解法：第三种解法：公顷公顷的公顷公顷的“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 “奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】公顷的是大长方形的，×=（公顷）或×=（公顷）例2、一袋大米重25千克，先吃去这袋大米的，又吃去千克，两次一共吃去多少千克？分析与解：求两次共吃去多少千克，要用第一次吃的千克数加上第二次吃的千克数；第一次吃了这袋大米的，是把这袋大米看作单位“1”，即吃去25千克的；第二次吃去千克。先求出第一次吃去多少千克。25×=5（千克）5+=5（千克）答：两次一共吃去5千克。点评：这一题的关键就是正确理解题目中两个所表示的不同含义，第一个表示是一个数的几分之几，是分率；而第二个表示的是千克，是具体的量。要先求出第一天的所对应的量再直接加上第二天吃的千克就可以了。在解题过程中，一定要注意区分，并作出正确的判断，再进行解答。例3、填空。（）×=7×（）=（）×1=0.8×（）分析与解：这是一道连等式填空。从题中可以看出，四道乘法算式的积都要相等，但是都等于几呢？题目中没有明确的要求，说明有多种填法。但是要解答得又对又快，可以从倒数的意义入手，即考虑每个算式的积都是1，这样，在相应的括号里只填上与之相乘的那个数的倒数就可以了。如果题目中明确给出了一个确定的数值作为积，那么解答此题时就只能一道一道地去思考解答了。（）×=7×（）=（）×1=0.8×（）已知a×3=×b=×c，并且a、b、c都不等于0，把a、b、c这三个数按从小到大的顺序排列，并说明理由。假设a×3=×b=×c=1那么a=、b=、c=1那么a＜c＜b例4、（1）一根钢管截成两段，第一段占，第二段长米。哪一根长？分析与解：可以用画图的方法，把题意表示出来。线段图如下：第一段占第二段长米通过线段图可以看出，第一段占，第二段占1-=，>。答：第一段长一些。（2）两根一样长的钢管，第一根截去，第二根截去米。哪一根剩下的长？（无法比较）（3）两根1米长的钢管，第一根截去，第二根截去米。哪一根剩下的长？（一样长）“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 “奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】第三单元分数除法1．分数除以整数可以用分数的分子除以整数，但不能总得到整数的商，所以通常把分数除以整数转化成分数乘这个整数的倒数。2．分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。3．一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。4．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。5．一个数除以真分数所得的商大于这个数；一个数除以假分数，所得的商小于或等于这个数。÷2表示的意义是（已知两个因数的积是，与其中一个因数是2，求另一个因数是多少？一台榨油机小时榨油吨，平均每小时榨油多少吨？榨1吨油要多少小时？÷=（吨）1÷=（小时）答：平均每小时榨油吨，榨1吨油要小时。例5、如果b=80。那么a=（45）。6．在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个数的倒数就可以了。在计算过程中除以一个数，只要转化为乘这个数的倒数，而乘一个数是不要变化的。所以，当乘、除法放在一起的时候，往往容易混肴。计算过程中一定要做好判断。7．在解答分数除法应用题时要找准单位“1”的量，而简单的分数除法应用题就是要求单位“1”的量。8．分数除法应用题的数量关系式是：单位“1”×分率=分率对应的量在具体解答时，用方程做，设单位“1”的量为ⅹ。9．解答分数除法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。可以发现：分析的思路与乘法应用题是一致的，也是根据题里叙述的条件，明确把哪个数量看作单位“1”。但是单位“1”的数量是未知的，所以先根据一个数和分数相乘的意义列出等量关系式，然后设未知数，列出相应的方程并解答。解答应用题时最关键的就是对应用题的数量关系进行分析，而不能套用解题思路。可以进行这样的小结：当应用题中单位“1”已经知道时，就用乘法解；当单位“1”不知道，要求单位“1”时，要用除法解或列方程解。“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 “奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】第四单元认识比1．两个数相除又叫做两个数的比。如：3÷2也就是3:2。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。3:2的比值是1.5。（比值没有单位）2．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；同分数比较，比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。3．比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时，这个比就是最简整数比。在化简过程中，如果比的前项和后项都是整数，那就同时除以它们的最大公约数；如果前项和后项是小数或是分数，先将它们同时乘一个数化成整数，再化简。要注意：最后化简到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。4．求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同，求比值的结果一定要是一个数，化简比的结果一定要是一个比。5．把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。比与除法、分数之间有着密切的联系。但不是说，它们之间是等同的。它们之间的区别是：比是两个量之间的关系，除法是一种运算，而分数是一个数。在理解意义的时候要注意区分。比与除法、分数之间的联系新课标第一网比（2:5）前项比号（:）后项比值分数（）分子分数线（-）分母分数值除法（2÷5）被除数除号（÷）除数商第五单元分数四则混合运算1．分数四则混合运算的运算顺序，与我们已经学过的整数四则混合运算顺序相同。2．整数运算定律和性质同样适用于分数四则混合运算。3、典型例题101×-101×5.3÷4+2.7×25%3.8×9.9+38%“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 “奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】第六单元认识百分数1．表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分率或百分比。2．百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上“﹪”来表示。3．百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，而不能表示具体的量，也就是说百分数后面不能加单位。4．把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时添上百分号。5．把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，一般保留三位小数），再把小数化成百分数。6．百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。7．把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。百分数和分数之间有联系，但也有明显的区别。百分数只表示两个数量之间的关系，不表示一个数量的值。分数既可以表示两个数量之间的关系，也可以表示一个数量的值。分母是100的分数可以有两种意义：一种是一个数量的值，一种是两个数量之间的关系。其中只有表示两个数量之间的关系时才是百分数。如果表示一个数量的值时，这个分母是100的分数就不是百分数了。百分数的分母确实是100，但这和分母是100的分数还是有所区别的。前面一种说法是在描述百分数分母的特点，而后一种说法则是在说百分数的意义。比如说和吨，它们都是分母是100的分数，但吨却不是百分数。8．一个数是另一个数的百分之几，直接用一个数除以另一个数。9．生活中常见的一些百分率的计算方法；合格率=合格产品数÷生产总个数种子的发芽率=发芽种子数÷试验种子总数小麦的出粉率=面粉重量÷小麦重量职工的出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数营业额×税率=营业税利息=本金×利率×时间原价×折扣率=现价利润=定价-成本利润率=（定价-成本）÷成本定价=成本×（1+利润率）成本=定价÷（1+利润率）分数乘法应用题中的最基本的数量关系式：单位“1”×分率=分率对应的量，如果和百分数应用题结合起来，求一种量是另一种量的百分之几，实际上就是求分率。它的解题思路与分数乘法应用题一样，区别在于结果要用百分数表示。10、分数和百分数应用题类型（1）、求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）数量关系：比较量÷标准量（单位“1”的量）=几分之几（百分之几）对应（2）、求一个数的几分之几（百分之几）是多少？/已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数数量关系：单位“1”的量×分率=与分率对应的量“奥数库”专业数学网站：免注册，不收费【https://www.aoshuku.com】 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