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题目与解析

问题

求2001的2003次方除以13的余数。
 

答案与解析

2001除以13余12,即2001≡12(mod 13)。根据同余性质(4),可知2001的2003次方≡12的2003次方(mod 13),但12的2003次方仍然是一个很大的值,要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1(mod 13),而2003≡2×1001+1。所以(12的平方)的1001次方≡1的1001(mod 13),即12的2002次方≡1(mod 13),而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质(2)可知12的2002次方×12≡1×12≡12(mod 13)
因为:2001的2003次方≡12的2003次方(mod 13)
12的平方≡1(mod 13),而2003≡2×1001+1
12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12(mod 13)
所以2001的2003次方除以13的余数是12。
 

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